Memahami Rumus Deret Geometri Terlengkap, Pahami Juga Contohnya

Liputan6.com, Jakarta - Matematika merupakan konsep penting yang sering kali kita jumpai dan aplikasikan dalam berbagai aspek kehidupan, salah satu nya adalah deret geometri. Penggunaan rumus deret geometri jadi alat yang bisa sangat berguna untuk menyelesaikan berbagai permasalahan praktis, mulai dari perhitungan investasi hingga analisis pertumbuhan populasi. Konsep ini memungkinkaan kita untuk menghitung jumlah total dari rangkaian bilangan yang memiliki pola perbandingan tetap antar sukunya. 

Pemahaman yang mendalam tentang rumus deret geometri juga bisa jadi sangat penting bagi siswa dan profesional yang bergelut di dalam dunia matematika, ekonomi dan sains. Sebagai contoh, dalam dunia finansial rumus deret geometri digunakan untuk menghitung bunga majemuk dan nilai investasi jangka panjang. Sementara dalam bidang sains, konsep ini membantu menganalisis pertumbuhan bakteri, peluruhan radioaktif, dan lain sebagainya.

Berikut ini telah Liputan6 rangkum informasi lengkap tentang rumus deret geometri, mulai dari pengertian dasar, rumus hingga penerapannya, pada Selasa (9/12).

Sebelum memahami rumus deret geometri dan penerapannya, penting untuk memahami terlebih dahulu bagaimana konsep fundamental dari deret geometri. Pemahaman yang solid tentang definisi dan karakteristik dasar akan menjadi pondasi untuk mempelajari aspek-aspek yang lebih kompleks.

Deret geometri adalah penjumlahan dari semua suku dalam barisan geometri. Sebuah barisan dapat dikategorikan sebagai barisan geometri apabila perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu menghasilkan nilai yang konstan. Nilai konstan ini dikenal dengan istilah rasio, yang menjadi karakteristik utama yang membedakan barisan geometri dari jenis barisan lainnya.

Sebagai ilustrasi, perhatikan barisan 3, 6, 12, 24, 48. Dalam barisan ini, setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 2. Rasio antara 6/3 = 12/6 = 24/12 = 48/24 = 2. Jika kita menjumlahkan semua suku dalam barisan tersebut (3 + 6 + 12 + 24 + 48), maka hasilnya merupakan deret geometri dengan lima suku.

Secara matematika, jika terdapat barisan geometri U1, U2, U3, …, Un, maka deret geometrinya dapat ditulis sebagai U1 + U2 + U3, …, Un. Konsep ini menjadi dasar untuk mengembangkan formula yang memungkinkan perhitungan jumlah suku tanpa harus menjumlahkan setiap elemen secara individual.

Pemahaman tentang bagaimana rumus deret geometri diturunkan akan memberikan insight yang lebih mendalam tentang logika dari penerapan matematika di baliknya. Proses derivasi ini tidak hanya membantu dalam mengingat rumus deret geometri, tapi juga memberikan pemahaman konseptual yang lebih kuat. Mari kita telusuri langkah-langkah matematis untuk memperoleh formula yang akan kita gunakan dalam penyelesaian berbagai masalah.

Untuk menurunkan rumus jumlah n suku pertama deret geometri, kita mulai dengan menuliskan deret tersebut dalam bentuk eksplisit. Misalkan Sn merepresentasikan jumlah n suku pertama, maka:

Sₙ = a + ar + ar² + ar³ + ... + arⁿ⁻¹ ... (Persamaan 1)

Kemudian, kita kalikan kedua ruas dengan r:

rSₙ = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ... + arⁿ ... (Persamaan 2)

Dengan mengurangkan persamaan (1) dari persamaan (2), kita memperoleh hasil:

Sₙ - rSₙ = a - arⁿ

Sₙ(1 - r) = a(1 - rⁿ)

Sehingga akhirnya, diperoleh rumus akhir: 

Sₙ = a(1 - rⁿ)/(1 - r) untuk r ≠ 1

Dalam rumus ini, a merepresentasikan suku pertama, r adalah rasio atau perbandingan dan n menunjukan banyaknya suku yang dijumlahkan. Untuk kasus khusus dimana r = 1, semua suku memiliki nilai yang sama dengan a, sehingga Sn = na.

Setelah memahami derivasi rumus deret geometri, langkah selanjutnya yang penting untuk diketahui adalah cara mengaplikasikannya dalam berbagai aspek dan jenis soal. Kemampuan untuk mengenali pola dan mengidentifikasi parameter yang tepat menjadi kunci krusial untuk bisa menyelesaikan masalah atau soal deret geometri. Mari kita eksplorasi berbagai variasi penerapan rumus melalui contoh-contoh yang representatif dari relevan dengan situasi nyata.

Contoh Perhitungan Dasar

Mari kita mulai dengan contoh sederhana. Tentukan jumlah 8 suku pertama dari deret 2 + 6 + 18 + 54 + …

Langkah pertama adalah mengidentifikasi parameter:

Suku pertama (a) = 2

Rasio (r) = 6/2 = 3

Banyak suku (n) = 8

Menggunakan rumus: Sₙ = a(rⁿ - 1)/(r - 1)

S₈ = 2(3⁸ - 1)/(3 - 1)

S₈ = 2(6561 - 1)/2

S₈ = 2(6560)/2 = 6560

Aplikasi dalam Masalah Praktis

Berikutnya adalah contoh aplikasi praktis, perhatikan soal berikut ini untuk memahami bagaimana penerapannya.

Sebuah perusahaan memulai produksi dengan 100 unit pada bulan pertama. Setiap bulan, produksi meningkat menjadi 1,5 kali produksi bulan sebelumnya. Berapa total produksi selama 6 bulan pertama?

Parameter yang diketahui:

a = 100

r = 1,5

n = 6

S₆ = 100(1,5⁶ - 1)/(1,5 - 1)

S₆ = 100(11,39 - 1)/0,5

S₆ = 100(10,39)/0,5 = 2078 unit

Penyelesaian Masalah dengan Parameter Tidak Lengkap

Terkadang ada beberapa penerapan dan soal yang mana dalam soal tersebut, terdapat dinamika dimana tidak semua parameter diberikan secara langsung. Sehinngga perlu mencari nilai yang belum ada terlebih dahulu. Berikut contohnya:

Suku pertama deret geometri adalah 5, dan jumlah 4 suku pertama adalah 85. Tentukan rasio deret tersebut.

Menggunakan rumus: 85 = 5(r⁴ - 1)/(r - 1)

17 = (r⁴ - 1)/(r - 1)

17(r - 1) = r⁴ - 1

17r - 17 = (r² - 1)(r² + 1)

17r - 17 = (r - 1)(r + 1)(r² + 1)

Dengan melakukan substitusi dan penyelesaian persamaan, diperoleh r = 2.

Bisa menguasai rumus deret geometri saja, tidak cukup tanpa memiliki strategi yang tepat dalam mengidentifikasi dan menyelesaikan berbagai jenis soal yang mungkin ditemui. Kemampuan untuk mengenali pola, mengorganisir informasi, dan menerapkan pendekatan yang sistematis akan sangat membantu dalam mencapai hasil yang akurat. 

Berikut ini beberapa tips praktis yang bisa meningkatkan kemampuan dalam menyelesaikan soal-soal deret geometri dengan lebih efisien dan efektif:

1. Selalu identifikasi dengan teliti apakah suatu barisan benar-benar merupakan barisan geometri dengan menghitung rasio antar suku berurutan.
2. Perhatikan dengan cermat informasi yang diberikan dalam soal untuk menentukan nilai a, r dan n
3. Dalam soal aplikasi, terjemahkan konteks ke dalam bahasa matematika dengan mengidentifikasi suku pertama dan pola pertumbuhan atau penurunan.
4. Untuk soal yang melibatkan pencarian parameter tertentu, gunakan sistem persamaan dengan memanfaatkan informasi yang tersedia.

Pertanyaan dan Jawaban (Q&A)

Q: Bagaimana cara membedakan antara deret geometri dan deret aritmatika?

A: Deret geometri memiliki rasio tetap antar suku berurutan (diperoleh dengan pembagian), sedangkan deret aritmatika memiliki selisih tetap antar suku berurutan (diperoleh dengan pengurangan). Untuk mengidentifikasi, hitung perbandingan beberapa pasang suku berurutan untuk geometri atau selisih untuk aritmatika.

Q: Apa yang terjadi jika rasio (r) bernilai negatif dalam deret geometri?

A: Jika rasio negatif, suku-suku dalam barisan akan berganti tanda (positif-negatif-positif). Rumus tetap berlaku, namun hasilnya mungkin menghasilkan jumlah yang lebih kecil dibandingkan jika semua suku positif. Contoh: 2, -4, 8, -16 dengan r = -2.

Q: Bisakah rumus deret geometri digunakan untuk deret tak hingga?

A: Ya, untuk deret geometri tak hingga dengan |r| < 1, jumlahnya konvergen dan dapat dihitung menggunakan rumus S∞ = a/(1-r). Jika |r| ≥ 1, deret akan divergen (jumlahnya tak hingga).